Autoregressiv Bewegend Durchschnittlich Ppt

Einführung in ARIMA Nichtseasonale Modelle. ARIMA p, d, q Vorhersage Gleichung ARIMA Modelle sind in der Theorie die allgemeinste Klasse von Modellen für die Vorhersage einer Zeitreihe, die gemacht werden kann, um stationär zu sein, indem sie gegebenenfalls, wenn auch in Verbindung mit nichtlinearen Transformationen, differenziert werden Wie z. B. Protokollierung oder Ablehnung, wenn nötig Eine zufällige Variable, die eine Zeitreihe ist, ist stationär, wenn ihre statistischen Eigenschaften alle über die Zeit konstant sind Eine stationäre Serie hat keinen Trend, ihre Variationen um ihren Mittelwert haben eine konstante Amplitude, und sie wackelt in einer konsistenten Weise Dh ihre kurzfristigen zufälligen Zeitmuster sehen immer in einem statistischen Sinn gleich aus. Die letztere Bedingung bedeutet, dass ihre Autokorrelationskorrelationen mit ihren eigenen vorherigen Abweichungen vom Mittel konstant über die Zeit bleiben oder äquivalent, dass sein Leistungsspektrum über die Zeit konstant bleibt Variable dieses Formulars kann wie gewöhnlich als eine Kombination von Signal und Rauschen betrachtet werden, und das Signal, wenn man offensichtlich ist, könnte ein Muster der schnellen oder langsamen mittleren Reversion oder sinusförmigen Oszillation oder eines schnellen Wechseles im Zeichen sein, und es könnte auch haben Eine saisonale Komponente Ein ARIMA-Modell kann als ein Filter betrachtet werden, der versucht, das Signal vom Rauschen zu trennen, und das Signal wird dann in die Zukunft extrapoliert, um Prognosen zu erhalten. Die ARIMA-Prognosegleichung für eine stationäre Zeitreihe ist eine lineare, dh regression - Typ-Gleichung, in der die Prädiktoren aus Verzögerungen der abhängigen Variablen und / oder Verzögerungen der Prognosefehler bestehen. Das ist. Gezahlter Wert von Y eine Konstante und / oder eine gewichtete Summe aus einem oder mehreren neueren Werten von Y und einer gewichteten Summe von eins oder Neuere Werte der Fehler. Wenn die Prädiktoren nur aus verzögerten Werten von Y bestehen, ist es ein reines autoregressives, selbstregressives Modell, das nur ein Spezialfall eines Regressionsmodells ist und mit Standardregressionssoftware ausgestattet werden könnte Erstklassiges autoregressives AR 1 - Modell für Y ist ein einfaches Regressionsmodell, bei dem die unabhängige Variable nur Y um eine Periode LAG Y, 1 in Statgraphics oder YLAG1 in RegressIt liegt. Wenn einige der Prädiktoren Fehler der Fehler sind, ein ARIMA-Modell Es handelt sich dabei nicht um ein lineares Regressionsmodell, denn es gibt keine Möglichkeit, den letzten Periodenfehler als eigenständige Variable anzugeben, die Fehler müssen auf einer Periodendauer berechnet werden, wenn das Modell an die Daten angepasst ist. Aus technischer Sicht ist die Problem bei der Verwendung von verzögerten Fehlern als Prädiktoren ist, dass die Vorhersagen des Modells keine linearen Funktionen der Koeffizienten sind, obwohl sie lineare Funktionen der vergangenen Daten sind. Daher müssen Koeffizienten in ARIMA-Modellen, die verzögerte Fehler enthalten, durch nichtlineare Optimierungsmethoden hill-climbing geschätzt werden Anstatt nur ein System von Gleichungen zu lösen. Das Akronym ARIMA steht für Auto-Regressive Integrated Moving Average Lags der stationären Serie in der Prognose Gleichung heißen autoregressive Begriffe, Verzögerungen der Prognosefehler werden als gleitende durchschnittliche Ausdrücke und eine Zeitreihe bezeichnet Die gestört werden muss, um stationär zu sein, soll eine integrierte Version einer stationären Serie sein. Random-Walk - und Random-Trend-Modelle, autoregressive Modelle und exponentielle Glättungsmodelle sind alle Sonderfälle von ARIMA-Modellen. Ein nicht seasonales ARIMA-Modell wird klassifiziert Als ARIMA p, d, q Modell, wobei p die Anzahl der autoregressiven Terme ist. d ist die Anzahl der für die Stationarität benötigten Nichtseasonalunterschiede und ist die Anzahl der verzögerten Prognosefehler in der Vorhersagegleichung. Die Prognosegleichung ist Konstruiert wie folgt Zuerst bezeichne y die d-te Differenz von Y, die bedeutet. Hinweis, dass die zweite Differenz von Y der d 2 Fall ist nicht der Unterschied von 2 Perioden vor Vielmehr ist es die erste Differenz-of-the-first Unterschied, das ist das diskrete Analog einer zweiten Ableitung, dh die lokale Beschleunigung der Serie und nicht die lokale Tendenz. In Bezug auf y die allgemeine Prognose Gleichung ist. Hier sind die gleitenden durchschnittlichen Parameter s definiert, so dass ihre Zeichen sind negativ in der Gleichung, nach der Konvention von Box und Jenkins eingeführt Einige Autoren und Software einschließlich der R-Programmiersprache definieren sie so, dass sie Pluszeichen statt haben Wenn die tatsächlichen Zahlen in die Gleichung gesteckt sind, gibt es keine Mehrdeutigkeit, aber es ist wichtig zu wissen, welche Konvention Ihre Software verwendet, wenn Sie die Ausgabe lesen Oft werden die Parameter dort mit AR 1, AR 2, und MA 1, MA 2, etc. identifiziert. Um das passende ARIMA-Modell für Y zu identifizieren, beginnen Sie mit der Bestimmung der Reihenfolge der differenzierenden d Notwendigkeit Um die Serie zu stationieren und die Brutto-Features der Saisonalität zu entfernen, vielleicht in Verbindung mit einer Varianz-stabilisierenden Transformation wie Logging oder Deflating Wenn Sie an dieser Stelle stoppen und voraussagen, dass die differenzierte Serie konstant ist, haben Sie nur einen zufälligen Spaziergang oder zufällig platziert Trendmodell Allerdings können die stationärisierten Serien noch autokorrelierte Fehler aufweisen, was darauf hindeutet, dass in der Prognosegleichung auch eine Anzahl von AR-Terme p1 und / oder einige Anzahl MA-Terme q1 erforderlich sind. Verfahren zur Bestimmung der Werte von p, d und Q, die am besten für eine gegebene Zeitreihe sind, werden in späteren Abschnitten der Notizen besprochen, deren Links oben auf dieser Seite stehen, aber eine Vorschau auf einige der Arten von nicht-seasonalen ARIMA-Modellen, die häufig angetroffen werden, ist unten angegeben. ARIMA 1 , 0,0 erstklassiges autoregressives Modell, wenn die Serie stationär und autokorreliert ist, vielleicht kann es als ein Vielfaches ihres eigenen vorherigen Wertes prognostiziert werden, plus eine Konstante Die Prognosegleichung in diesem Fall ist. das ist Y, das auf sich selbst zurückgeblieben ist Eine Periode Dies ist ein ARIMA 1,0,0 Konstante Modell Wenn der Mittelwert von Y Null ist, dann wäre der konstante Term nicht enthalten. Wenn der Steigungskoeffizient 1 positiv und kleiner als 1 in der Größenordnung ist, muss er kleiner als 1 in sein Größe, wenn Y stationär ist, beschreibt das Modell das Mittel-Rückkehr-Verhalten, bei dem der nächste Perioden-s-Wert 1 mal so weit weg von dem Mittelwert liegen sollte, wie dieser Periodenwert Wenn 1 negativ ist, prognostiziert er das Mittel-Rückkehr-Verhalten mit Wechsel Von Zeichen, dh es sagt auch voraus, dass Y unterhalb der mittleren nächsten Periode sein wird, wenn es über dem Mittelwert dieser Periode liegt. In einem autoregressiven Modell der zweiten Ordnung ARIMA 2,0,0 würde es einen Y-t-2-Term geben Genau so gut und so weiter Abhängig von den Zeichen und Größenordnungen der Koeffizienten könnte ein ARIMA 2.0,0 Modell ein System beschreiben, dessen mittlere Reversion in einer sinusförmig oszillierenden Weise stattfindet, wie die Bewegung einer Masse auf einer Feder, die Wird zufälligen Schocks ausgesetzt. ARIMA 0,1,0 zufälliger Spaziergang Wenn die Serie Y nicht stationär ist, ist das einfachste Modell für sie ein zufälliges Spaziergangmodell, das als Begrenzungsfall eines AR 1 - Modells betrachtet werden kann Autoregressiver Koeffizient ist gleich 1, dh eine Reihe mit unendlich langsamer mittlerer Reversion Die Vorhersagegleichung für dieses Modell kann wie überall geschrieben werden, wo der konstante Term die durchschnittliche Periodenänderung ist, dh die Langzeitdrift in Y Dieses Modell könnte sein Als ein Nicht-Intercept-Regressionsmodell, bei dem die erste Differenz von Y die abhängige Variable ist, da sie nur eine nicht-seasonale Differenz und einen konstanten Term enthält, wird sie als ARIMA 0,1,0-Modell mit Konstante klassifiziert. Die zufällige Walk - Ohne - Drift-Modell wäre ein ARIMA-0,1,0-Modell ohne constant. ARIMA 1,1,0 differenzierte Autoregressive Modell erster Ordnung Wenn die Fehler eines zufälligen Walk-Modells autokorreliert sind, kann das Problem eventuell durch Hinzufügen einer Verzögerung behoben werden Der abhängigen Variablen zur Vorhersagegleichung - dh durch Rückkehr der ersten Differenz von Y auf sich selbst verzögert um eine Periode Dies würde die folgende Vorhersagegleichung ergeben, die umgeordnet werden kann. Dies ist ein autoregressives Modell erster Ordnung mit einer Ordnung von Nonseasonal differenzing und ein konstanter term - dh ein ARIMA 1,1,0 model. ARIMA 0,1,1 ohne konstante einfache exponentielle Glättung Eine weitere Strategie zur Korrektur autokorrelierter Fehler in einem zufälligen Walk-Modell wird durch das einfache exponentielle Glättungsmodell vorgeschlagen Für einige nichtstationäre Zeitreihen, z. B. solche, die geräuschvolle Schwankungen um ein langsam variierendes Mittel aufweisen, führt das zufällige Spaziergangmodell nicht so gut wie ein gleitender Durchschnitt der vergangenen Werte. Anders ausgedrückt, anstatt die jüngste Beobachtung als die Prognose der Nächste Beobachtung ist es besser, einen Durchschnitt der letzten Beobachtungen zu verwenden, um das Rauschen herauszufiltern und den lokalen Mittel genauer zu schätzen. Das einfache exponentielle Glättungsmodell verwendet einen exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt der vergangenen Werte, um diesen Effekt zu erzielen. Die Vorhersagegleichung Denn das einfache exponentielle Glättungsmodell kann in einer Anzahl von mathematisch äquivalenten Formen geschrieben werden, von denen eine die sogenannte Fehlerkorrekturform ist, in der die vorherige Prognose in Richtung des von ihr vorgenommenen Fehlers eingestellt wird. Weil e t-1 Y T-1 - t-1 per definitionem kann dies umgeschrieben werden, da ist eine ARIMA 0,1,1 - without-konstante Prognosegleichung mit 1 1 - das bedeutet, dass man eine einfache exponentielle Glättung platzieren kann, indem man sie als ARIMA 0,1,1 Modell ohne Konstante, und der geschätzte MA 1 - Koeffizient entspricht 1-minus-alpha in der SES-Formel Erinnern Sie sich, dass im SES-Modell das Durchschnittsalter der Daten in den Prognosen von 1 Periode 1 beträgt Was bedeutet, dass sie tendenziell hinter Trends oder Wendepunkten um etwa 1 Perioden zurückbleiben. Daraus folgt, dass das Durchschnittsalter der Daten in den 1-Periodenprognosen eines ARIMA 0,1,1 - without-constant-Modells 1 1 - 1 Wenn also 1 0 8 das Durchschnittsalter 5 ist, so nähert sich das ARIMA 0,1,1 - without-konstantes Modell zu einem sehr langfristigen gleitenden Durchschnitt, und wenn 1 sich nähert, wird es Ein zufälliges Spaziergang ohne Drift-Modell. Was ist der beste Weg, um die Autokorrelation zu korrigieren, indem man AR-Terme hinzufügt oder MA-Terme hinzufügt. In den vorangegangenen zwei Modellen, die oben diskutiert wurden, wurde das Problem der autokorrelierten Fehler in einem zufälligen Walk-Modell auf zwei verschiedene Arten festgelegt Durch Hinzufügen eines verzögerten Wertes der differenzierten Reihe zur Gleichung oder Hinzufügen eines verzögerten Wertes des Prognosefehlers, welcher Ansatz am besten ist. Ein Schlüsselbund für diese Situation, der später ausführlicher erörtert wird, ist die positive Autokorrelation In der Regel am besten behandelt durch Hinzufügen eines AR-Begriffs zum Modell und negative Autokorrelation ist in der Regel am besten durch Hinzufügen eines MA-Begriffs In Business-und wirtschaftlichen Zeitreihen, negative Autokorrelation oft entsteht als Artefakt der Differenzierung Im Allgemeinen, differenziert reduziert positive Autokorrelation und kann sogar verursachen Ein Wechsel von positiver zu negativer Autokorrelation So wird das ARIMA-0,1,1-Modell, bei dem die Differenzierung von einem MA-Term begleitet wird, häufiger als ein ARIMA 1,1,0-Modell verwendet. ARIMA 0,1,1 mit konstantem Einfache exponentielle Glättung mit Wachstum Durch die Implementierung des SES-Modells als ARIMA-Modell erhalten Sie tatsächlich eine gewisse Flexibilität Zunächst einmal darf der geschätzte MA 1 - Koeffizient negativ sein, dies entspricht einem Glättungsfaktor größer als 1 in einem SES-Modell In der Regel nicht erlaubt durch das SES-Modell-Anpassungsverfahren Zweitens haben Sie die Möglichkeit, einen konstanten Begriff in das ARIMA-Modell einzubeziehen, wenn Sie es wünschen, um einen durchschnittlichen Nicht-Null-Trend zu schätzen. Das ARIMA-0,1,1-Modell mit Konstante hat Die Vorhersagegleichung. Die Prognosen für ein Periodenabschätzung von diesem Modell sind qualitativ ähnlich denen des SES-Modells, mit der Ausnahme, dass die Trajektorie der Langzeitprognosen typischerweise eine abfallende Linie ist, deren Steigung gleich mu ist, anstatt einer horizontalen Linie. ARIMA 0,2,1 oder 0,2,2 ohne konstante lineare exponentielle Glättung Lineare exponentielle Glättungsmodelle sind ARIMA-Modelle, die zwei Nichtseason-Differenzen in Verbindung mit MA-Terme verwenden. Der zweite Unterschied einer Serie Y ist nicht einfach der Unterschied zwischen Y und Selbst ist von zwei Perioden verzögert, aber vielmehr ist es der erste Unterschied der ersten Differenz - die Veränderung der Veränderung von Y bei der Periode t. Somit ist die zweite Differenz von Y in der Periode t gleich Yt - Y T-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 Eine zweite Differenz einer diskreten Funktion ist analog zu einer zweiten Ableitung einer stetigen Funktion, die die Beschleunigung oder Krümmung in der Funktion misst Zu einem gegebenen Zeitpunkt. Das ARIMA-0,2,2-Modell ohne Konstante prognostiziert, dass die zweite Differenz der Serie gleich einer linearen Funktion der letzten beiden Prognosefehler ist, die umgestellt werden kann, wo 1 und 2 die MA 1 sind Und MA 2 Koeffizienten Dies ist ein allgemeines lineares exponentielles Glättungsmodell, das im Wesentlichen das gleiche wie das Holt-Modell ist, und das Brown-Modell ist ein Spezialfall Es verwendet exponentiell gewichtete Bewegungsdurchschnitte, um sowohl eine lokale Ebene als auch einen lokalen Trend in der Serie zu schätzen. Term-Prognosen aus diesem Modell konvergieren zu einer Geraden, deren Steigung von der durchschnittlichen Tendenz abhängt, die gegen Ende der Serie beobachtet wird. ARIMA 1,1,2 ohne konstante gedämpfte Trend lineare exponentielle Glättung. Dieses Modell ist in den begleitenden Folien auf ARIMA dargestellt Modelle Es extrapoliert den lokalen Trend am Ende der Serie, aber legt es bei längeren Prognosehorizonten ab, um eine Note des Konservatismus einzuführen, eine Praxis, die empirische Unterstützung hat. Sehen Sie den Artikel auf Warum der gedämpfte Trend von Gardner und McKenzie und der Goldenen Regel arbeitet Artikel von Armstrong et al für Details. Es ist in der Regel ratsam, an Modellen, in denen mindestens einer von p und q ist nicht größer als 1, dh nicht versuchen, ein Modell wie ARIMA 2,1,2, wie dies zu passen Dürfte zu Überfüllung und Gemeinsamen Faktoren führen, die in den Anmerkungen zur mathematischen Struktur von ARIMA-Modellen näher erörtert werden. Spreadsheet-Implementierung ARIMA-Modelle wie die oben beschriebenen sind einfach in einer Tabellenkalkulation implementierbar. Die Vorhersagegleichung ist einfach ein Lineare Gleichung, die sich auf vergangene Werte der ursprünglichen Zeitreihen und vergangene Werte der Fehler bezieht. So können Sie eine ARIMA-Prognosekalkulationstabelle einrichten, indem Sie die Daten in Spalte A, die Prognosemethode in Spalte B und die Fehlerdaten abzüglich Prognosen in Spalte speichern C Die Prognoseformel in einer typischen Zelle in Spalte B wäre einfach ein linearer Ausdruck, der sich auf Werte in vorhergehenden Zeilen der Spalten A und C bezieht, multipliziert mit den entsprechenden AR - oder MA-Koeffizienten, die in anderen Zellen auf der Kalkulationstabelle gespeichert sind. Autoregressive Integrated Moving Average ARIMA Modelle 1.Präsentation zum Thema Autoregressive Integrierte Moving Average ARIMA Modelle 1 Präsentationstranskript.1 Autoregressive Integrierte Moving Average ARIMA Modelle 1.2 2 - Prognosetechniken basierend auf exponentieller Glättung - General Annahme für die oben genannten Modelle mal Seriendaten werden als Summe von zwei verschiedenen dargestellt Komponenten deterministc wird sehr klein im absoluten Wert nach Verzögerung q.19 ​​Erstes Auftragsbewegender Mittelwert MA 1 Autokovarianz von MA q Autocorelation von MA q 19 q 1.20 20 - Mean nur endliche Anzahl von Störungen tragen zum aktuellen Wert der Zeitreihen bei Berücksichtigung aller Störungen der Vergangenheit verwenden autoregressive Modelle schätzen unendlich viele Gewichte, die einem deutlichen Muster mit einer kleinen Anzahl von Parametern folgen.24 Erste Ordnung Autoregressive Prozess, AR 1 Nehmen wir an, dass die Beiträge der Störungen, die in der Vergangenheit weit sind, im Vergleich zu Die jüngsten Störungen, die der Prozeß erlebt hat, reflektieren die abnehmenden Größen der Beiträge der Störungen der Vergangenheit durch den Satz von unendlich vielen Gewichten in absteigenden Größen, wie die Gewichte in den Störungen, die von der gegenwärtigen Störung ausgehen und in der Vergangenheit zurückgehen 24 Exponentielles Zerfallsmuster.25 Autorekorrektur der ersten Ordnung AR 1 AR 1 stationär if 25 wo WARUM AUTOREGRESSIV.26 Mittleres AR 1 Autokovarianzfunktion AR 1 Autokorrelationsfunktion AR 1 26 Das ACF für einen stationären AR 1 - Prozess hat eine exponentielle Zerfallsform.27 27 Beobachtungen - Die Beobachtungen zeigen Aufwärtsbewegungen.28 Zweiter Ordnung Autoregressiver Prozess, AR 2 28 Dieses Modell kann in der unendlichen MA Form Dämpfungsfaktor R Frequenzperiode dargestellt werden.36 36 Fall III eine reale Wurzel m 0 m 1 m 2 m 0 ACF Bilden exponentielles Zerfallsmuster.37 37 AR 2 Prozess yt 4 0 4y t-1 0 5y t-2 et Wurzeln des polynomischen realen ACF bilden Mischung von 2 exponentiellen Zerfallsbedingungen.38 38 AR 2 Prozess yt 4 0 8y t-1 - 0 5y t-2 et Wurzeln der Polynomkomplex-Konjugate ACF bilden gedämpftes sinusförmiges Verhalten.39 39 Autoregressiver Prozess, AR p Betrachten Sie ein AR-Modell AR0 oder 400 AR P stationär Wenn die Wurzeln des Polynoms kleiner als 1 in sind Absolutwert AR P absolut summierbare unendliche MA-Darstellung unter der vorherigen Bedingung.41 41 Gewichte der zufälligen Schocks as.42 42 Für stationäre AR S.43 43 ACF p-Ordnung lineare Differenzengleichungen AR p - erfüllt die Yule-Walker-Gleichungen - ACF Kann aus den p-Wurzeln des zugehörigen Polynoms gefunden werden, zB nicht unbedingt ein AR-Prozeß - für jeden festen Wert k sind die Yule-Walker-Gleichungen für den ACF eines AR p-Prozeßklassenbildlinks uk-text-large uk-margin-small - left uk-margin-small-right 47 47 Teilweise Autokorrelationsfunktion PACF zwischen yt nicht unbedingt ein AR-Prozess - Für jeden festen Wert k werden die Yule-Walker-Gleichungen für den ACF eines AR p-Prozesses p gleich Null. Betrachten Sie - ein stationäres Zeitreihen yt nicht unbedingt ein AR-Prozess - Für jeden festen Wert k sind die Yule-Walker-Gleichungen für den ACF eines AR p-Prozesstitels 47 Teilautokorrelationsfunktion PACF zwischen yt nicht unbedingt ein AR-Prozess - für jeden festen Wert k, der Yule - Walker-Gleichungen für die ACF eines AR p-Prozesses.48 48 Matrix-Notation Lösungen Für jeden gegebenen k, k 1,2 wird der letzte Koeffizient der partielle Autokorrelationskoeffizient des Prozesses bei der Verzögerung k AR p - Prozeß genannt AR-Prozess unter Verwendung des PACF.49 49 Abschneiden nach 1 Verzögerung Abfallmuster AR 2 MA 1 MA 2 Abklingmuster AR 1 AR 2 Abschaltung nach 2. Lag 50 50 Invertierbarkeit von MA-Modellen Invertierbarer gleitender Durchschnittsprozess Der MA q - Verfahren Ist invertierbar, wenn es eine absolut summierbare unendliche AR-Darstellung hat. Es kann gezeigt werden Die unendliche AR-Darstellung für MA q.51 51 Erhalten Wir brauchen Bedingung der Invertierbarkeit Die Wurzeln des zugehörigen Polynoms sind kleiner als 1 im absoluten Wert Ein invertierbarer MA q-Prozess kann Dann als unendlicher AR-Prozess geschrieben werden.52 52 PACF eines MA q - Verfahrens ist eine Mischung aus exponentiellen Zerfalls-Feuchtigkeits-Sinus-Ausdrücken Bei der Modellidentifikation verwenden Sie beide Proben-ACF-Proben PACF PACF möglicherweise niemals abschneiden.53 53 gemischter autoregressiver beweglicher durchschnittlicher ARMA-Prozess ARMA p, q Modell Passen Sie das exponentielle Abklingmuster an, indem Sie einige Begriffe hinzufügen.54 54 Stationarität von ARMA p, q Prozess In Verbindung mit der AR-Komponente ARMA p, q stationär, wenn die Wurzeln des Polynoms weniger als eins im absoluten Wert ARMA p, Q hat eine unendliche MA-Darstellung.55 55 Invertierbarkeit von ARMA p, q Prozess Invertierbarkeit des ARMA-Prozesses im Zusammenhang mit der MA-Komponente Überprüfen Sie die Wurzeln des Polynoms Wenn die Wurzeln kleiner als 1 im absoluten Wert sind, dann ist ARMA p, q invertierbar Unendliche Darstellung Koeffizienten.56 56 ARMA 1,1 Probe ACF PACF exponentielles Zerfallsverhalten.60 60 Nicht stationärer Prozess Nicht konstanter Wert, homogenes Verhalten im Laufe der Zeit zeigen, ist homogen, nicht stationär, wenn - es ist nicht stationär - Ist der erste Unterschied, Y t-1 1-B yt oder höhere Ordnung Unterschiede wt 1-B dyt erzeugen eine stationäre Zeitreihe Y t autoregressiver, integrierter gleitender Durchschnitt der Ordnung p, d, q ARIMA p, d, q Wenn die d-Differenz wt 1-B ist Dyt produziert eine stationäre ARMA p, q Prozess ARIMA p, d, q.61 61 Der zufällige Spaziergang ARIMA 0,1,0 Einfachste nichtstationäre Modell Erste Differenzierung eliminiert serielle Abhängigkeit ergibt einen weißen Rauschprozess.62 62 yt 20 y t -1 et Nachweis des nicht-stationären Prozesses - Beispiel ACF stirbt langsam aus - Beispiel PACF signifikant bei der ersten Verzögerung - Beispiel PACF-Wert bei Verzögerung 1 nahe bei 1 Erster Unterschied - Zeitreihenplot von wt stationär - Beispiel ACF PACF zeigt keine Signifikanter Wert - Unter ARIMA 0,1,0,63 63 Der zufällige Spaziergang ARIMA 0,1,1 Unendliche AR-Darstellung, abgeleitet aus ARIMA 0,1,1 IMA 1,1 ausgedrückt als exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt EWMA aller vergangenen Werte. 64 64 ARIMA 0,1,1 - Der Mittelwert des Prozesses bewegt sich zeitlich nach oben - Beispiel ACF stirbt relativ langsam - Beispiel PACF 2 signifikante Werte bei Verzögerungen 1 2 - erster Unterschied sieht stationär aus - Beispiel ACF PACF ein MA 1 Modell wäre Passend für den ersten Unterschied, seine ACF schneidet nach dem ersten Verzögerung PACF Zerfall Muster Mögliche Modell AR 2 Überprüfen Sie die Wurzeln. Es gibt eine Reihe von Ansätzen zur Modellierung Zeitreihen Wir skizzieren ein paar der häufigsten Ansätze unten. Trend, saisonale, Restliche Zerlegung. Ein Ansatz besteht darin, die Zeitreihe in einen Trend, eine saisonale und eine Restkomponente zu zerlegen. Triple exponentielle Glättung ist ein Beispiel für diesen Ansatz Ein weiteres Beispiel, das als saisonale Löss bezeichnet wird, basiert auf lokal gewichteten kleinsten Quadraten und wird von Cleveland 1993 diskutiert Wir diskutieren nicht jahreszeitlichen Löss in diesem Handbuch. Frequenzbasierte Methoden. Ein weiterer Ansatz, der häufig in wissenschaftlichen und technischen Anwendungen verwendet wird, ist die Analyse der Serie im Frequenzbereich Ein Beispiel für diesen Ansatz bei der Modellierung eines sinusförmigen Typ Datensatz ist in der Strahlumlenkungsfallstudie Das Spektraldiagramm ist das primäre Werkzeug für die Frequenzanalyse von Zeitreihen. Autoregressive AR-Modelle. Ein gemeinsamer Ansatz zur Modellierung von univariaten Zeitreihen ist das autoregressive AR-Modell Xt delta phi1 X phi2 X cdots phip X At, wobei Xt ist Die Zeitreihe, At ist weißes Rauschen und Delta links 1 - Summe p phii rechts mu mit mu, das den Prozessmittel bezeichnet. Ein autoregressives Modell ist einfach eine lineare Regression des aktuellen Wertes der Serie gegen einen oder mehrere vorherige Werte der Serie Der Wert von p heißt die Reihenfolge der AR-Modell. AR-Modelle können mit einer von verschiedenen Methoden, einschließlich Standard-lineare Methoden der kleinsten Quadrate analysiert werden. Sie haben auch eine einfache Interpretation. Moving Average MA Models. Another gemeinsamen Ansatz für die Modellierung univariate Zeitreihen Modelle sind der gleitende Durchschnitt MA Modell Xt mu At - theta1 A - theta2 A - cdots - thetaq A, wobei Xt die Zeitreihe ist, mu ist der Mittelwert der Serie, A sind weiße Lärmbegriffe und theta1, ldots, Thetaq sind die Parameter des Modells Der Wert von q heißt die Reihenfolge des MA-Modells. Das heißt, ein gleitendes Mittelmodell ist konzeptionell eine lineare Regression des aktuellen Wertes der Serie gegen das weiße Rauschen oder zufällige Schocks von einem oder mehreren Vorherige Werte der Serie Die zufälligen Schocks an jedem Punkt werden von der gleichen Verteilung, typischerweise einer Normalverteilung, mit der Position bei Null und der konstanten Skala angenommen. Die Unterscheidung in diesem Modell ist, dass diese zufälligen Stöße zu zukünftigen Werten der Zeit propagiert werden Serie Die Anpassung der MA-Schätzungen ist komplizierter als bei AR-Modellen, da die Fehlerterme nicht beobachtbar sind. Dies bedeutet, dass iterative nichtlineare Anpassungsprozesse anstelle von linearen kleinsten Quadraten verwendet werden müssen. MA-Modelle haben auch eine weniger offensichtliche Interpretation als AR-Modelle. Manchmal wird das ACF und PACF vorschlagen, dass ein MA-Modell eine bessere Modellwahl wäre und manchmal sowohl AR - als auch MA-Begriffe im selben Modell verwendet werden sollten. Siehe Abschnitt 6 4 4 5.Beachten Sie jedoch, dass die Fehlerausdrücke nach dem Modell vorliegen Fit sollte unabhängig sein und den Standardannahmen für einen univariaten Prozess folgen. Box und Jenkins popularisierten einen Ansatz, der den gleitenden Durchschnitt und die autoregressiven Ansätze in dem Buch Time Series Analysis Forecasting und Control Box, Jenkins und Reinsel, 1994 kombiniert. Obwohl beide autoregressiv Und gleitende durchschnittliche Ansätze waren bereits bekannt und wurden ursprünglich von Yule untersucht, der Beitrag von Box und Jenkins war in der Entwicklung einer systematischen Methodik für die Identifizierung und Schätzung von Modellen, die beide Ansätze beinhalten könnte Dies macht Box-Jenkins Modelle eine leistungsfähige Klasse von Modellen Die nächsten mehrere Abschnitte werden diese Modelle im Detail besprechen.